الرئيسية / الفيزياء النسبية والحديثة / اشتقاق سرعة الضوء من معادلات ماكسويل

اشتقاق سرعة الضوء من معادلات ماكسويل

الفيزياء النسبية والحديثة

قام ماكسويل بحل هذه المعادلات الأربع للفراغ وتوصل إلى الصلة الوثيقة بين سرعة الموجة الكهرومغناطيسية وبين ثابت العازلية وثابت النفاذية.
يمكن إعادة المعادلات السابقة على افتراض أن الضوء ينتشر في الفراغ حيث لاتوجد أي شحنات كهربائية أي أن

\rho=0\,

و

\mathbf{J}=0\,

فتصبح بالصورة

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$
$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

لإيجاد معادلة الموجة يجب إيجاد المشتقة الثانية في كل من الزمن والفضاء. بداية بأخذ الالتواء لطرفي المعادلة الثالثة وبتعويض النتيجة في المعادلة الرابعة نجد أن

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial \mathbf{\nabla \times \mathbf{B}}}{\partial t}

من نظرية تفاضل المتجه، نعلم أن

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla^2\mathbf{E} + \nabla \cdot(\nabla \cdot \mathbf{E})

على هذا الأساس تصبح

\nabla^2\mathbf{E}= \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}

وهذه معادلة موجة في ثلاثة أبعاد، وللتبسيط يمكن دراستها في بعد واحد بالشكل

\frac{\partial^2 E} {\partial x^2}= \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 E} {\partial t^2}

بالبحث عن حل للمعادلة الجيبية، بدلالة السرعة

v

والطول الموجي

\lambda

يفترض أن تكون

E = E_0 sin(2\pi\frac{x-vt}{\lambda})

بمفاضلة هذه المعادلة مرتين نحصل على

\frac{\partial^2 E} {\partial x^2}= - E_0 \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 sin\left(2\pi\frac{x-vt}{\lambda}\right)

و

\frac{\partial^2 E} {\partial t^2}= - E_0 \left(\frac{2\pi v}{\lambda}\right)^2 sin\left(2\pi\frac{x-vt}{\lambda}\right)

بالتعويض عنها مرة أخرى في معادلة الموجة نجد أنها تمثل حلاً شريطة أن

v^2=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}

أي أن سرعة الموجة الكهرومغنطيسية هي:

v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}

عن Hikvision-Yemen

0 التعليقات:

إرسال تعليق

الاشتراك في: تعليقات الرسالة ( Atom )